Parabol nedir tanimi konu anlatimi denklem olarak yazilimi dogruya gore durumlari grafikte gosterimi

PARABOL NEDİR?

A. TANIM: a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

       İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

        Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir. 
B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere,
r=-b/2a  ve k=f( r) =4ac-b2/4a dır.
Ü Parabol x= -b/2a doğrusuna göre simetriktir.
X=-b/2a doğrusu parabolün simetri eksenidir.
 y = a(x – r)² + k fonksiyonunun grafiğinin


tepe noktası T(r, k) dır.
C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.
ax² + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(0, c) dir.
Ü ax² + bx + c = 0 denkleminde

• D = b² – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser. 
• D = b² – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
• D = b² – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.

 D. x² NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ


1) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.
2) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.
|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x² nin katsayısı g deki x² nin katsayısından büyüktür
f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,


1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.
E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – x₁) (x – x₂) ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa
y = f(x) = a(x – r)² + k ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.
3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa
y₁ = ax₁² + bx₁ + c ... (1)
y₂ = ax₂² + bx₂ + c ... (2)
y₃ = ax₃² + bx₃ + c ... (3)


Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.
F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.
f(x) = g(x)
 ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b – m)x + c – n = 0 ... (_*)


(_*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.
Buna göre, (_*) denkleminde;

•  D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
•   D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
•  D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.

Ü y = ax² + bx + c parabolü ile y = dx² + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.